HDMI es una norma que vino hace ya diez años de la mano de Hitachi, Panasonic, Philips, Silicon Image, Sony, y Toshiba. Para usarla,los fabricantes de apartatos deben pagar una licencia.
DisplayPort llegó de la mano de VESA (por Video Electronics Standards Association) en el 2006. Vesa es un consorcio formado por muchas empresas. La norma es gratuita.
La idea es que sea usada para reemplazar las conexiones VGA (de 1987) y DVI (de 1999), en nuestras computadoras.
Hay enchufes HDMI en varios formatos :

Incluso un tipo E que no puse en la imagen, que es para usos automotrices.
El más conocido es el tipo A.
Hay 4 tipos de cables, lo que complica el tema:
- Cable estándar HDMI: sólo da ancho de banda para resoluciones 720p y 1080i
- Cable estándar HDMI con Ethernet: permite el mismo ancho de banda y agrega soporte para redes ethernet de 100 mbps.
- Cable HDMI de alta velocidad: puede llevar video en resolución 1080p y más (hasta 4096 x 2160 píxeles pero sólo a 24 Hz). Soporta video 3D también
- Cable HDMI de alta velocidad con Ethernet: es como el anterior pero agrega soporte para red ethernet de 100 mbps.
Los cables en gral son de cobre y pueden llegar a tener 50 m de largo usando los de CAT 5 o CAT 6 (de esos que se usan en redes).
Los de esta norma pueden conectarse con adaptadores a enchufes DVI.
Los cables HDMI sólo soportan un flujo de audio y video a la vez, o sea, una pantalla.
DisplayPort tiene dos formatos, el más difundido en la imagen:

Y también tiene un enchufe más chico mini DisplayPort que se emplea en teléfonos inteligentes y tabletas.
Los cables son más fáciles de describir, pueden llevar video 3D y soportan hasta una resolución de 3840 por 2160 píxeles con una tasa de refresco de 60 HZ.
Pueden, usando adaptadores, conectarse a enchufes VGA, DVI o HDMI.
Un cable de estos sin amplificadores puede soportar video en 3840 x 2160 si tiene un largo de hasta 1,98 metros. Con un cable de 15 metros debería poder verse en resoluciones de 2560 por 1600.
Hay cables DisplayPort que se llaman "activos" que amplifican las señales y permiten mayores extensiones.
Los cables de esta norma pueden soportar hasta 4 monitores con resoluciones de 1920 x 1200 puntos, o dos a 2560 x 1600, llevando señales de audio y videos independientes a cada uno.
HDMI está pensado para electrónica hogareña, televisores, reproductores Blu-Ray, proyectores.
Los enchufes de esta norma son muy comunes y aparecen en muchos aparatos, incluso tarjetas gráficas, computadoras portátiles, y todo en uno.
DisplayPort en cambio está orientado a computadoras.
Fuente: la nota HDMI vs. DisplayPort: Which display interface reigns supreme? en pcworld.com.
Pudiendo elegir creo que DisplayPort es mejor.